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数学

常见导函数

$$ (C)'=0\\ (\sin x)' = \cos x\\ (\cos x)' = -\sin x\\ (a^x)'=a^x\ln a\\ (\log _a x)' = \frac{1}{x\ln a}\\ (\ln x)'=\frac{1}{x}\\ (e^x)'=e^x\\ (x^a)'=ax^{a-1} $$

牛顿-莱布尼茨公式

设：函数\(f(x)\)的导函数为\(f'(x)\)

证明过程

$$ \because f'(x)=\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}f(x)\\ \therefore dy = f'(x)dx\\ \therefore \int f'(x)dx = \int dy\\ \therefore \int_a^b f'(x)dx = \int _a^b dy = f(b)-f(a) $$

\(f(x)\)中\(dy = dx*f'(x)\),假设将\(f'(x)\)划分无数矩形，其中每一个矩形的面积\(S = dx*f'(x)=dy\) 则，\(\int f'(x)dx = \int dy\)。

$$ \int _a^b f'(x)dx $$ 所以如上其面积为导函数的原函数\(f(x)\)的差值,即将无数的\(dy\)加起来，即最终的结论: $$ \int _a^b f'(x)dx = f(b)-f(a) $$